DERIVADAS

La derivada corresponde a la pendiente de una recta, la cual es tangente a una funcion determinada. Representa las variaciones instantaneas en el valor de la pendiente de dicha recta. La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de fisica, quimica y biologia, o en ciencias sociales como la economia y la sociologia.

EJERCICIOS DE APLICACION CON DERIVADAS:

1. La posicion de un punto P sobre una línea recta esta dada mediante la funcion de posicion

f(t)= t³ – 6t² + 5, donde f(t) esta medido en metros y t esta medido en segundos. Hallar:

a) Su velocidad en los instantes t=0 segundos y t=3 segundos

b) Su aceleracion en los instantes t=0 segundos y t=3 segundos

SOLUCION:

a) f(t)= t³ – 6t² + 5

f'(t)= 3t² – 12t

V_t=0= 3(0)² – 12(0) = 0 m/s significa que la particula esta en reposo

V_t=3= 3(3)² – 12(3) = -9 m/s significa que la particula se mueve en direccion decreciente

b) f’(t)= 3t² – 12t

f’’(t)= 6t - 12

a_t=0= 6(0) – 12 = -12 m/s²

a_t=3= 6(3) – 12 = 6 m/s²

2. Hallar la velocidad de un punto P que se mueve en linea recta para los instantes t=0, t=1 y t=2, funcion de posicion f(t)= 3/2t² + 5t - 1

SOLUCION:

VELOCIDAD: f(t)= 3/2t² + 5t - 1

f’(t)= (0)(2t² + 5t – 1) + (3)(4t + 5)/( 2t² + 5t – 1)²

f’(t)= 12t + 15/(2t² + 5t – 1)²

V_t=0= 12(0) + 15/ (2(0)² + 5(0) – 1)² = 0 m/s

V_t=1= 12(1) + 15/ (2(1)² + 5(1) – 1)² = 27/36 m/s

V_t=2= 12(2) + 15/ (2(2)² + 5(2) – 1)² = 39/289 m/s

3. Calcula la velocidad y la aceleracion de un movil cuya posicion esta descrita por: x(t)= 5t² + 12t + 3

SOLUCION:

x(t)= 5t² + 12t + 3

Velocidad (t)= x’(t)= 10t + 12

aceleracion (t)= V’(t)= 10

4. Hallar un punto de la grafica y= 3x² + 5 en el cual la recta tangente sea paralela a y= 7x + 2

SOLUCION: y= 7x + 2 ----- m= 7

buscamos un punto en el que la derivada valga 7:

f’(x)= 5x

f’(x)= 7

5x=7 ------ x= 7/5 ------ y= 35

El punto es (7/5, 35)

5. Hallar un punto en la grafica y= x² + x + 5 en el cual la recta tangente sea paralela a y= 3x + 8

SOLUCION: y= 3x + 8 ------- m=3

buscamos un punto en el que la derivada valga 3:

f'(x)= 2x + 1

f'(x)= 3

2x + 1= 3------- x= 1 ------ y=7

El punto es (1,7)