SUCESIONES O PROGRESIONES

denominamos sucesion o progresion a una secuencia de numeros organizados de manera logica y que tienen una variacion constante entre uno y otro termino, independientemente de si se llama razon o diferencia. podemos encontrar sucesiones:


ARITMETICAS: la progresion artimetica es una serie de numeros donde la diferencia de dos terminos sucesivos es una constante. Esta cantidad es llamada precisamente diferencia.

Ej: {2, 4, 6, 8, 10, 12... la diferencias es de 2 (d=2)

{5, 10, 15, 20, 25... d=5

{1, 2, 3, 4, 5, 6... d=1


Para hallar el termino n en una sucesion artimetica utilizamos la siguiente formula:

a_n= a₁ + (n-1) . d

Para hallar la suma de los terminos de la progresion utilizamos la siguiente formula:

S_n= [(a₁ + a_n)/2] . n

Ej: en una progresion aritmetica el quinto termino es 30 y el septimo es 42. Si tiene 13 terminos calcular:

a) el primero

b) el ultimo

c) la suma de los trece

a₅= 30

a₇= 42

a₁= ?

a₁₃= ?

Para hallar la diferencia debemos restar 30 (quinto termino) de 42 (septimo termino) y el resultado dividirlo por dos. Asi obtendremos el intervalo que hay entre cada numero de la sucesion:

42 - 30= 12

12/2 = 6

Por lo tanto, la diferencia de esta progresion es de 6. para hallar el primer termino podemos restar 6 desde la quinta posicion hasta llegar a la posicion uno: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42...

para hallar el termino 13 hallamos la formula de la progresion:

a₁₃= 6 + (12) . 6

a₁₃= 6 + 72

a₁₃= 78

La suma de los primeros trece terminos es:

S₁₃= [(6 + 78)/2] . 13

S₁₃= 57 . 13

S₁₃= 546

GEOMETRICAS: es una serie de numeros que se obtienen multiplicando el anterior por una cantidad constante llamada razon. Por lo tanto, la razon de una progresion geometrica se obtiene con la siguiente formula:

r= a_n /(a_n – 1)

Ej: { 3, 6, 12, 24, 48... la razon es de 2 (r=2)

{ 4, 16, 64, 256, 1024... r= 4

{ 2, 14, 98, 686, 7802... r= 7

Para hallar el termino n de la sucesion geometrica utilizamos:

a_n= a₁ . r^n-1

Para hallar la suma de los terminos:

S_n= [a₁ . (rⁿ-1)/(r-1)]

Ej: en una progresion geometrica el septimo termino es 262144 y el octavo es 2097125. si tiene 10 terminos calcular:

a) el primero

b) el ultimo

c) la suma de los diez

a₇= 262144

a₈= 2097152

a₁₀= ?

a₁= ?

para hallar la razon dividimos la octava posicion por la septima:

r= 2097152/262144

r= 8

podemos hallar la posicion 1 dividiendo por la razon desde la septima posicion hasta llegar a la primera: 1, 8, 64, 512, 4096, 32768, 262144, 2097152...

Hallemos el decimo termino:

a₁₀= 1 . 8^10-1

a₁₀= 134217728

ahora podemos hallar la suma de los primeros 10 terminos:

S₁₀= [1 . (8¹⁰-1)/(8-1)]

S₁₀= [1 . (8¹⁰-1)/(8-1)]

S₁₀ =153391689

SUCESION DE FIBONACCI: cada numero de esta sucesion se obtiene sumando los dos numeros anteriores a el.

Ej: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...

Por lo tanto la formula para hallar los terminos de la sucesion es:

a_n= a_n-1 + a_n-2