FOCO, DIRECTRIZ , VERTICE Y ECUACION DE LA PARABOLA

Para encontrar el foco y la directriz en una parábola utilizamos las siguientes ecuaciones:

PARABOLAS VERTICALES: x²=4py (Cuando p>0. En dicho caso, la parábola abre hacia arriba)

x²= -4py (cuando p<0. Abre hacia abajo)

Ambas ecuaciones en caso de que el vértice sea en el origen. De lo contrario se utilizara (x-h)²= 4p(y-k)

PARABOLAS HOTIZONTALES: y²= 4px (cuando p>0. La parábola abre hacia la derecha)

y²= -4px (cuando p<0. Abre hacia la izquierda)

En caso de no tener vértice en el punto de origen se utilizara la ecuación dada a continuación:

(y-k)²=4p(x-h)

Ejemplos:

· Encontrar la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto F=(0,4) y la directriz es paralela al eje X y pasa por (0,-4).

Sabemos que la directriz pasa por el punto (0,-4), por lo tanto su ecuación debe ser y= -4. Como el vértice es el punto (0,0), la distancia entre la directriz y el vértice es la misma que hay entre el vértice y el foco. Entonces, la distancia entre el vértice y el foco es 4. Ahora que tenemos claro todo esto podemos pasar a resolver el problema.

Como la parábola abre hacia arriba y tiene el vértice en el origen usamos la siguiente ecuación:

x²= 4py

x²= 4(4)y

x²=16y

Ecuación de la parábola: x²=16y

· Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y cuya directriz es la recta x=-2.

Si la recta de la directriz es la ecuación x=-2, quiere decir que el punto por donde pasa dicha recta es el punto (0,-2). Entonces, p=2

Nuevamente, la parábola abre verticalmente hacia arriba y tiene vértice en el origen:

x²= 4py

x² = 4(2)y

x² = 8y