EJERCICIOS SOBRE COMO HALLAR LA ECUACION DE LA PARABOLA

· Dados los puntos (0,1),(1,1),(-2,7) hallar la ecuación de la parábola:

Tomamos los valores del primer punto dado y reemplazamos a (x) y (y) en la ecuación para encontrar el valor de (c):

y=ax²+bx+c

1=a(0)²+b(0)+c

c=1

Tomamos los valores del segundo punto dado y los reemplazamos en la ecuación. Esta vez ponemos el valor que no haya dado en (c) para despejar a (a) o a (b):

1=a(1)²+b(1)+1

1=a+b+1

a+b=0

a=-b

Ponemos a (a) en términos de (b), es decir, donde en la ecuación encontremos a (a) lo reemplazaremos por (-b):

7=a(-2)²+b(-2)+1

7=4a-2b+1

6=4a -2b

6=4(-b) -2b

6=-4b – 2b

-1=b

a=1

Ecuación de la parábola: y=x²-x+1

· Se sabe que la ecuación de una parábola es igual a y= -x²+2x-3 y la ecuación de la recta es y=3x-5. Hallar los puntos de corte entre la parábola y la recta:

Ecuación de la parábola: y=-x²+2x-3

Ecuación de la recta: 3x-5

Para solucionar este problema tenemos que recordar los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones 2x2 (igualación, sustitución, reducción, determinantes y grafico) ya vistos en años anteriores.

Por igualación: ponemos las dos ecuaciones en términos de (x) o (y). yo las pondré en términos de (y):

y=y

3x-5=-x²+2x-3

3x+x²-2x=-3+5

x²+x=2

x²+x-2=0

con la anterior ecuación podremos hallar los puntos de corte de la parábola con la recta por medio de la formula general o formula del bachiller:

x= [-b±√( b²-4ac)]/2a

a=1

b=1

c=-2

x₁= 1+√ [1-4(1)(-2)]/2

x₁= (1+3)/2

x₁=2

x₂= (1-3)/2

x₂= -1

Reemplazamos los valores obtenidos en la ecuación de la línea recta para hallar las coordenadas (y) de los puntos de corte:

3(2)-5 = 1

3(-1)-5 = -8

Puntos de corte: (2,1), (-1,-8)

· Una parábola tiene su vértice en el punto (1,1) y pasa por el punto (0,2). hallar la ecuación:

V= (1,1)

A=(0,2)

Con respecto a los anteriores datos, podemos decir que nos han dado el punto de corte de la parábola con el eje Y. sabemos que el punto A es un punto de corte con dicho eje ya que tiene a (0) como valor en su coordenada (x). Por lo tanto, (2) es el puno de corte de la parábola con el eje ya mencionado. Recordemos, c=2

Ahora utilizaremos los valores del vértice y de (c) para despejar a (a) o (b) en la ecuación:

1=a(1)²+b(1)+2

1=a+b+2

-1=a+b

-1-b=a

Utilizando la fórmula del vértice obtendremos el valor de (b):

V_x = -b/2a

1= -b/2a

2a= -b

2(-1-b)=-b

-2-2b=-b

-2=b

Reemplazamos el valor obtenido en (b) para hallar a (a):

-1-b=a

-1-(-2)=a

1=a

Ecuación de la parábola: y= x²-2x+2

· En un juego de video se tienen muchos aviones que vuelan de izquierda a derecha, y viceversa, en movimiento parabólico. Un jugador dispara siempre en la misma dirección, y la formula con la que dispara es siempre y=1+1/x. se sabe que un avión pasa por el punto P=(1,2) y el vértice es (3/2, 5/3) ¿el tirador le da o no le da?

Con los valores del punto P podemos hallar para despejar a (c):

ax²+bx+c

2=a(1)²+b(1)+c

2=a+b+c

2-a-b=c

Con los valores del vértice continuamos despejando la ecuación para obtener a (a):

5/3= a(3/2)²+b(3/2)+(2-a-b)

5/3= a(9/4)+(3/2)b+2-a-b

5/3=(5/4)a+(1/2)b+2

5/3 - 2= (5/4)a+(1/2)b

[-1/3-(1/2)b]/(5/4)=a

(-8-12b)/30=a

Despejamos en la ecuación del vértice:

V_x = -b/2a

3/2= -b/2[(-8-12b)/30]

3/2= -30b/(-16-24b)

3(-16-24b)= 2(-30b)

-48-72b=-60b

-48= -60b+72b

-48/12=b

-4=b

Despejamos a (a):

a= [-8-12(-4)]/30

a=(-8+48)/30

a=1.33

Por último, despejamos a (c ):

y=ax²+bx+c

2=1.33(1)²-4(1)+c

2-1.33+4=c

4.67=c

Ecuación de la parábola: y= 1.33x²-4x+4.67